ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
ТЕМА: СОПРЯЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ОКРУЖНОСТЕЙ
СОПРЯЖЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В КОНТУРАХ ТЕХНИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
Сопряжением называется плавный переход одной линии в другую.
Точка, в которой одна линия переходит в другую, называется точкой сопряжения.
Дуги, при помощи которых осуществляется плавный переход одной линии в другую, называются дугами сопряжений.
Касательной называется прямая, имеющая с замкнутой кривой только одну общую точку. Это предельное положение секущей, точки пересечения которой с кривой, стремясь друг к другу, сливаются в одну точку - точку касания.
Построение сопряжений основано на свойствах касательных к кривым и сводится к определению положения центра сопрягающей дуги и точек сопряжения (касания), т.е. точек, в которых заданные линии переходят в сопрягающую дугу
СОПРЯЖЕНИЕ УГЛОВ (СОПРЯЖЕНИЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ)
Сопряжение прямого угла
(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)
В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.
Сопряжение острого угла
(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом).
Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение острого угла. Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля, равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a и b. Сопряжение острого угла построено.
Сопряжение тупого угла
(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)
Сопряжение тупого угла строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.
Центр сопряжения - точка, равноудаленная от сопрягаемых линий. А общая для этих линий точка называется точкой сопряжения .
Построение сопряжений выполняется с помощью циркуля.
Возможны следующие виды сопряжения:
1) сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги заданного радиуса R (скругление углов);
2) сопряжение дуги окружности и прямой с помощью дуги заданного радиуса R;
3) сопряжение дуг окружностей радиусов R 1 и R 2 прямой линией;
4) сопряжение дуг двух окружностей радиусов R 1 и R 2 дугой заданного радиуса R (внешнее, внутреннее и смешанное сопряжение).
При внешнем сопряжении центры сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 лежат вне сопрягающей дуги радиуса R. При внутреннем сопряжении центры сопрягаемых дуг лежат внутри сопрягающей дуги радиуса R. При смешанном сопряжении центр одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр другой сопрягаемой дуги - вне ее.
В табл. 1 показаны построения и даны краткие объяснения к построениям простых сопряжений.
Сопряжения Таблица 1
| Пример простых сопряжений | Графическое построение сопряжений | Краткое объяснение к построению |
| 1. Сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги заданного радиуса R. | Провести прямые, параллельные сторонам угла на расстоянии R. Из точки О взаимного пересечения этих прямых, опустив перпендикуляры на стороны угла, получим точки сопряжения 1 и 2. Радиусом R провести дугу. | |
| 2. Сопряжение дуги окружности и прямой с помощью дуги заданного радиуса R. |  | На расстоянии R провести прямую, параллельную заданной прямой, а из центра О 1 радиусом R+R 1 - дугу окружности. Точка О - центр дуги сопряжения. Точку 2 получим на перпендикуляре, проведенном из точки О на заданную прямую, а точку 1 - на прямой OO 1 . |
| 3. Сопряжение дуг двух окружностей радиусов R 1 и R 2 прямой линией. |  | Из точки О 1 провести окружность радиусом R 1 -R 2 . Отрезок O 1 O 2 разделить пополам и из точки О 3 провести дугу радиусом 0,5O 1 O 2 . Соединить точки О 1 и O 2 с точкой А. Из точки О 2 опустить перпендикуляр к прямой АО 2 , Точки 1.2 - точки сопряжения. |
Продолжение таблицы 1
| 4. Сопряжение дуг двух окружностей радиусов R 1 и R 2 дугой заданного радиуса R (внешнее сопряжение). |  | Из центров O 1 и О 2 провести дуги радиусов R+R 1 и R+R 2 . O 1 и О 2 с точкой О. Точки 1 и 2 являются точками сопряжения. |
| 5. Сопряжение дуг двух окружностей радиусов R 1 и R 2 дугой заданного радиуса R (внутреннее сопряжение). |  | Из центров O 1 и О 2 провести дуги радиусов R -R 1 и R -R 2 . Получаем точку О - центр дуги сопряжения. Соединить точки O 1 и О 2 с точкой О до пересечения с заданными окружностями. Точки 1 и 2 - точки сопряжения. |
| 6. Сопряжение дуг двух окружностей радиусов R 1 и R 2 дугой заданного радиуса R (смешанное сопряжение). |  | Из центров O 1 и О 2 провести дуги радиусов R - R 1 и R+R 2 . Получаем точку О - центр дуги сопряжения. Соединить точки O 1 и О 2 с точкой О до пересечения с заданными окружностями. Точки 1и 2 - точки сопряжения. |
Лекальные кривые
Это кривые линии, у которых на каждом их элементе непрерывно изменяется кривизна. Лекальные кривые не могут быть вычерчены с помощью циркуля, их построение выполняется по ряду точек. При вычерчивании кривой полученный ряд точек соединяют по лекалу, поэтому ее называют лекальной кривой линией. Точность построения лекальной кривой повышается с увеличением числа промежуточных точек на участке кривой.
К лекальным кривым относятся так называемые плоские сечения конуса – эллипс , парабола , гипербола , которые получаются в результате сечения кругового конуса плоскостью. Такие кривые рассматривались при изучении курса «Начертательная геометрия». К лекальным кривым также относят эвольвенту , синусоиду, спираль Архимеда , циклоидальные кривые .
Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух неподвижных точек (фокусов) есть величина постоянная.
Наиболее широко применяется способ построения эллипса по заданным полуосям АВ и СD. При построении проводят две концентрические окружности, диаметры которых равны заданным осям эллипса. Для построения 12 точек эллипса окружности делят на 12 равных частей и полученные точки соединяют с центром.
На рис. 15 показано построение шести точек верхней половины эллипса; нижняя половина вычерчивается аналогично.
Эвольвента - является траекторией точки окружности, образованной ее развертыванием и выпрямлением (развертка окружности).
Построение эвольвенты по заданному диаметру окружности показано на рис. 16. Окружность делится на восемь равных частей. Из точек 1,2,3 проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону. На последней касательной откладывают шаг эвольвенты, равный длине окружности
(2 pR), и полученный отрезок делят также на 8 равных частей. Откладывая на первой касательной одну часть, на второй – две части, на третьей – три части и т.д, получают точки эвольвенты.
Циклоидальные кривые - плоские кривые линии, описываемые точкой, принадлежащей окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или окружности. Если при этом окружность катится по прямой линии, то точка описывает кривую, называемую циклоидной.
Построение циклоиды по заданному диаметру окружности d показано на рис.17.
Рис. 17
Окружность и отрезок длиной 2pR делят на 12 равных частей. Через центр окружности проводят прямую, параллельную отрезку. Из точек деления отрезка к прямой проводят перпендикуляры. В точках их пересечения с прямой получаем О 1 , О 2 , О 3 и т.д. - центры перекатываемой окружности.
Из этих центров описываем дуги радиусом R. Через точки деления окружности проводим прямые параллельные прямой, соединяющей центры окружностей. На пересечении прямой, проходящей через точку 1 с дугой, описанной из центра О1, находится одна из точек циклоиды; через точку 2 с другой из центра О2 - другая точка и т.д.
Если же окружность катится по другой окружности, находясь внутри нее (по вогнутой части), то точка описывает кривую называемую гипоциклоидой. Если окружность катится по другой окружности, находясь вне ее (по выпуклой части), то точка описывает кривую, называемую эпициклоидой.
Построение гипоциклоиды и эпициклоиды аналогично, только вместо отрезка длиной 2pR берется дуга направляющей окружности.
Построение эпициклоиды по заданному радиусу подвижной и неподвижной окружностей показано на рис.18. Угол α, который вычисляется по формуле
α = 180°(2r/R), и окружность радиуса R делят на восемь равных частей. Проводится дуга окружности радиуса R+r и из точек О 1 , О 2 , О 3 .. – окружности радиуса r.
Построение гипоциклоиды по заданным радиусам подвижной и неподвижной окружности показано на рис.19. Угол α, который подсчитывается, и окружность радиуса R делятся на восемь равных частей. Проводится дуга окружности радиусом R - r и из точек О 1 , О 2 , О 3 … - окружности радиусом r.
Парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от неподвижной точки - фокуса F и неподвижной прямой - директрисы, перпендикулярной к оси симметрии параболы. Построение параболы по заданному отрезку ОО =АВ и хорде СD показано на рис.20
Прямые ОЕ и ОС разделены на одинаковое число равных частей. Дальнейшее построение ясно из чертежа.
Гипербола
- геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух неподвижных точек (фокусов) - есть величина постоянная. Представляет собой две разомкнутые, симметрично расположенные ветви.
Постоянные точки гиперболы F 1 и F 2 - это фокусы, а расстояние между ними называется фокусным. Отрезки прямых, соединяющие точки кривой с фокусами, называются радиус-векторами. Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси - действительную и мнимую. Прямые, проходящие через центр пересечения осей, называются асимптотами.
Построение гиперболы по заданному фокусному расстоянию F 1 F 2 и углу α между асимптотами показано на рис.21. Проводится ось, на которой откладывается фокусное расстояние, которое делится пополам точкой О. Через точку О проводится окружность радиуса 0,5F 1 F 2 до пересечения в точках C, D, E, K. Соединяя точки C с D и E c K, получают точки А и В – вершины гиперболы. От точки F 1 влево отмечают произвольные точки 1, 2, 3… расстояния между которыми должны увеличиваться по мере удаления от фокуса. Из фокусных точек F 1 и F 2 радиусами R=B4 и r=A4 проводятся дуги до взаимного пересечения. Точки пересечения 4 являются точками гиперболы. Остальные точки строятся аналогично.
Синусоида - плоская кривая, выражающая закон изменения синуса угла в зависимости от изменения величины угла.
Построение синусоиды по заданному диаметру окружности d показано
на рис. 22.
Для ее построения делят данную окружность на 12 равных частей; на такое же число равных частей делится отрезок, равный длине данной окружности (2pR). Проводя через точки деления горизонтальные и вертикальные прямые, находят в пересечении их точки синусоиды.
Спираль Архимеда - э то плоская кривая, описываемая точкой, которая равномерно вращается вокруг заданного центра и вместе с тем равномерно удаляется от него.
Построение спирали Архимеда заданному диаметру окружности D показано на рис.23.
Окружность и радиус окружности поделен на 12 равных частей. Дальнейшее построение видно из чертежа.
При выполнении построении сопряжений и лекальных кривых приходится прибегать к простейшим геометрическим построениям - таким как деление окружности или прямой на несколько равных частей, деление угла и отрезка пополам, построение перпендикуляров, биссектрис и т.д. Все эти построения изучались в дисциплине «Черчение» школьного курса, поэтому подробно в данном пособии не рассматриваются.
1.5 Методические указания по выполнению
Сопряжение.
Сопряжение- плавный переход одной линии в другую.
Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданного радиуса.
Задача сводится к проведению окружности, касающейся обеих заданных прямых линий.
Вариант 1.
Проводим вспомогательные прямые параллельно заданным на расстоянии R от заданных.
Точка пересечения этих прямых будет центромО дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на
заданные прямые, определят точки касания К и К 1 .
Вариант 2.
Построение такое же.
Сопряжения. Построение сопряжения линий.
Вариант 3.
Если требуется провести окружность, чтобы она касалась трех пересекающихся прямых линий, то в этом случае
Радиус не может быть задан условиями задачи. Центр О окружности находится на пересечении биссектрис углов
В и С . Радиусом окружности является перпендикуляр, опущенный из центра О на любую из 3-х заданных прямых
Линий.
Сопряжения. Построение сопряжений линий.
Построение внешнего сопряжения данной окружности с данной прямойдугой заданного радиуса R 1 .
Из центра О данной окружности проводим дугу вспомогательной окружности радиусом R+R 1 .
Проводим прямую параллельно заданной на расстоянии R 1 .
Пересечение прямой и вспомогательной дуги даст точку центра дуги сопряжения О 1 .
Точка касания дуг К лежит на линии ОО 1 .
Точка касания дуги и линии К 1 лежит на пересечении перпендикуляра из точки О 1 на прямую с дугой.
Сопряжения. Построение внешнего сопряжения окружности с прямой.
Построение внутреннего сопряжения данной окружности с данной прямой дугой заданного радиуса R 1 .
Из центра О данной окружности проводим вспомогательную окружность радиусом R- R 1 .
Сопряжения. Построение внутреннего сопряжения окружности с прямой.
Построение сопряжения двух данных окружностей дугой заданного радиуса R 3 .
Внешнее касание.
Из центра окружности О 1 R 1 +R 3 .
Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 2 +R 3 .
Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку О 3 , которая является центром дуги сопряжения
Точки касания К 1 и К 2 находятся на линиях О 1 О 3 и О 2 О 3 .
Внутреннее касание
Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 -R 1 .
Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 - R 2 .
Пересечение
(окружности с радиусом R 3) .
Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.
Внешнее и внутреннее касание .
Заданы две окружности с центрами О 1 и О 2 с радиусами r 1 и r 2 . Необходимо провести окружность заданного
Радиуса R так, чтобы обеспечить с одной окружностью внутреннее касание, а с другой - внешнее.
Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R-r 1 .
Изцентра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R+r 2 .
Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку, которая является центром дуги сопряжения
(окружности с радиусом R) .
Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.
Построение окружности, проходящей через заданную точку А и касающейся данной окружности
в заданной точке В.
Находим середину прямой линии АВ . Через середину линии АВ поводим перпендикуляр. Пересечение продолжения
Линии ОВ и перпендикуляра дает точку О 1 . О 1 - центр искомой окружности с радиусом R = O 1 B = O 1 A.
Сопряжения. Внутреннее касание окружности и дуги .
Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на прямой точке А.
Из заданной точки А линии LM восстанавливаем перпендикуляр к прямой линии LM . На продолжении
Перпендикуляра откладываем отрезок АВ . АВ = R. Соединяем точку В с центром окружности О 1 прямой.
Из точки А проводим прямую линию параллельно ВО 1 до пересечения с окружностью. Получим точку К - точку
Касания. Соединим точку К с центром окружности О 1 . Продлим линии О 1 К и АВ до пересечения. Получим точку
О 2 , которая является центром дуги сопряжения с радиусом О 2 А = О 2 К.
Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке.
Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на окружности точке А.
Внешнее касание .
Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой линией LM даст точку В.
Делим угол пополам
О 1 . О 1 О 1 А = О 1 К.
Внутреннее касание.
Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой LM даст точку В.
Делим угол , образованный касательной и прямой линией LM , пополам . Пересечение биссектрисы угла и
Продолжения радиуса ОА даст точку О 1 . О 1 - О 1 А = О 1 К.
Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке на окружности.
Построение сопряжения двух неконцентрических дуг окружностей дугой заданного радиуса.
Проводим из центра дуги О 1 вспомогательную дугу радиусом R 1 -R 3 . Проводим из центра дуги О 2 вспомогательную
Дугу радиусом R 2 +R 3 . Пересечение дуг даст точку О. О - центр дуги сопряжения с радиусом R 3 . Точки касания
К 1 и К 2 лежат на линиях ОО 1 и ОО 2 .
Сопряжения. Сопряжение 2-х неконцентрических дуг окружностей дугой.
Построение лекальной кривой подбором дуг.
Подбирая центры дуг, совпадающих с участками кривой, можно циркулем вычертить любую лекальную кривую.
Для того чтобы дуги плавно переходили одна в другую, необходимо, чтобы точки их сопряжения (касания)
Находились на прямых линиях, соединяющих центры этих дуг.
Последовательность построений.
Подбираем центр 1 дугипроизвольного участка ab.
На продолжении первого радиуса подбираем центр 2 радиуса дуги участка bc.
На продолжении второго радиуса подбираем центр 3 радиуса дуги участка cd и т. д.
Так строим всю кривую.
Сопряжения. Подбор дуг.
Построение сопряжения двух параллельных прямых двумя дугами.
Заданные на прямых параллельных линиях точки А и В соединяем линией АВ.
Выбираем на прямой АВ произвольную точку М .
Делим отрезки АМ и ВМ пополам .
Восстанавливаем в серединах отрезков перпендикуляры.
В точках А и В, заданных прямых, восстанавливаем перпендикуляры к прямым.
Пересечение соответствующих перпендикуляров даст точки О 1 и О 2 .
О 1 центр дуги сопряжения с радиусом О 1 А = О 1 М.
О 2 центр дуги сопряжения с радиусом О 2 В = О 2 М.
Если точку М выбрать на середине линии АВ , то радиусы дуг сопряжения будут равны.
Касание дуг в точке М , находящейся на линии О 1 О 2 .
Сопряжения. Сопряжение параллельных прямых двумя дугами.
Плавный переход прямой линии в дугу или одной дуги в другую называют сопряжением. Для построения сопряжения надо найти центры, из которых проводят дуги, т. е. центры сопряжений (рис. 63). Затем нужно найти точки, в которых одна линия переходит в другую, т. е. точки сопряжений. При построении контура изображения сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек. Точка сопряжения лежит на перпендикуляре, опущенном из центра О дуги на сопрягаемую прямую (рис. 64, а), или на линии О 1 О 2 , соединяющей центры сопрягаемых дуг (рис. 64, б). Следовательно, для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти центр сопряжения и точку сопряжения.
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса. Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии (рис. 65, а). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.
Для всех трех случаев применяют общий способ построения.
1. Находят точку О - центр сопряжения, который должен лежать на расстоянии R от сторон угла в точке пересечения прямых, проходящих параллельно сторонам угла на расстоянии R от них (рис. 65, б).
Для построения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные.
2. Находят точки сопряжений (рис. 65, в). Для этого опускают перпендикуляры из точки О на заданные прямые.
3. Из точки О, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 65, в).
Сопряжение двух параллельных прямых. Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения т (рис. 66, а). Требуется построить сопряжение.
Построение выполняют следующим образом:
1. Находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 66, б). Для этого из точки m на одной прямой восставляют перпендикуляр до пересечения с другой прямой в точке п. Отрезок делят пополам (см. рис. 56).
2. Из точки О - центра сопряжения радиусом Оm = Оn описывают дугу до точек сопряжения тип (рис. 66, в).
Проведение касательной к окружности. Задана окружность с центром О и точка А (рис. 67, а). Требуется провести из точки А касательную к окружности.
1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.
Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 67, а). Чтобы найти центр О 1 делят отрезок ОА пополам (см. рис. 56).
2. Точки m и n пересечения вспомогательной окружности с заданной - искомые точки касания. Точку А соединяют прямой с точками m или n (рис. 67, б). Прямая Am будет перпендикулярна к прямой Оm, так как угол АmО опирается на диаметр.
Проведение прямой, касательной к двум окружностям. Заданы две окружности радиусом R и R 1 . Требуется построить касательную к ним.
Различают два случая касания: внешнее (рис. 68, б) и внутреннее (рис. 68, в).
При внешнем касании построение выполняют следующим образом:
1. Из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т. е. R - R 1 (рис. 68, а). К этой окружности из центра О 1 проводят касательную Оm. Построение касательной показано на рис. 67.
2. Радиус, проведенный из точки О в точку n, продолжают до пересечения в точке m с заданной окружностью радиусом R. Параллельно радиусу Оm проводят радиус 0 1 р меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений m и р,- касательная к заданным окружностям (рис. 68, б).
При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R 1 (см. рис. 68, в). Затем из центра O 1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 67). Точку n соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу On проводят радиус O 1 р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений m и р.
Сопряжение дуги и прямой линии дугой заданного радиуса. Заданы дуга окружности радиусом R и прямая. Требуется соединить их дугой радиусом R 1 .
1. Находят центр сопряжения (рис. 69, а), который должен находиться на расстоянии R 1 от дуги и от прямой. Такому условию соответствует точка пересечения прямой линии, параллельной заданной прямой, проходящей от нее на расстоянии R 1 , и вспомогательной дуги, отстоящей от заданной также на расстоянии R 1 . Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R 1 (рис. 69, а). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R 1 , описывают из центра О дугу до пересечения с вспомогательной прямой. Полученная точка O 1 - центр сопряжения.
2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 69, б). Соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O 1 и О. Опускают из центра сопряжения O 1 перпендикуляр на заданную прямую.
3. Из центра сопряжения O 1 между точками сопряжения m и n проводят дугу, радиус которой равен R 1 (см. рис. 69, б).
Сопряжение двух дуг окружности дугой заданного радиуса. Заданы две дуги радиусами R 1 и R 2 . Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.
Различают два случая касания: внешнее (рис. 70, б) и внутреннее (рис. 70, в). В обоих случаях центры сопряжений должны быгь расположены на расстоянии, равном радиусу дуги сопряжения, от заданных дуг. По общему правилу на прямых, соединяющих центры сопрягаемых дуг, находят точки сопряжения.
Ниже приведен порядок построения для внешнего и внутреннего касаний.
Для внешнего касания. 1. Из центров O 1 и О 2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 70, а); радиус дуги, проведенной из центра O 1 , равен R + R 3 , а радиус дуги, проведенной из центра O 2 , равен R 2 + R 3 . На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения - точка О 3 ,.
2. Соединив прямыми точку O 1 с точкой O 3 и точку O 2 с точкой O 3 , находят точки сопряжения m и n (см. рис. 70, б),
3. Из точки О 3 раствором циркуля, равным R 3 , между точками m и n описывают сопрягающую дугу.
Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов сопрягающей и заданной дуг, т.е. R 4 -R 1 и R 4 -R 2 . Точки сопряжения р и k лежат на продолжении линий, соединяющих точку О 4 с точками O 1 и O 2 .
Лист № 4
Цель задания : ознакомление с правилами построения плавного перехода от одной линии к другой.
Выполнить на листе формата А4 задание «Сопряжение», взяв данные по своему варианту из таблицы 6 (стр. 38-41).
Сопряжением линий называется плавный переход по кривой от одной линии к другой. Точкой сопряжения линий называется общая точка двух сопрягаемых линий, это точка в которой одна линия переходит в другую линию.
Построение сопряжений основано на геометрических понятиях о прямых, касательных к окружностям и на свойствах касающихся между собой окружностей.
Для правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять построения сопряжений, которые основаны на двух положениях:
1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восстановленном из точки сопряжения (рисунок 38). При сопряжении прямой линии и кривой прямая должна являться одновременно касательной к кривой.
2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, лежали на прямой, проходящей через точку сопряжения и перпендикулярной к общей касательной этих дуг (рисунок 38). Точку сопряжения находят на прямой, соединяющей центры окружностей. Точка сопряжения (В) является границей двух линий, здесь кончается одна линия и начинается другая. Следовательно, точки сопряжения являются вместе с тем и точками касания прямой и дуги или двух дуг.
Рисунок 38 – Построение сопряжений
Рассмотрим построение сопряжений сторон угла (острого, тупого, прямого) дугой заданного радиуса R (рисунок 39).
На рисунке 39а выполнено построение сопряжения сторон острого угла дугой, на рисунке 39б – тупого угла, на рисунке 39в – прямого.
Сопряжение выполняется следующим образом: параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих линий будет центром дуги радиуса R, т.е. центром сопряжения. Из центра О описывают дугу, плавно переходящую в прямые – стороны угла. Дугу заканчивают в точках М и N – это точки сопряжения, они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на стороны угла.
Рисунок 39 – Построение сопряжений
Рассмотрим построение сопряжения дуги с дугой.
Сопряжение двух дуг окружностей может быть внутренним, внешним и смешанным.
При внутреннем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40а).
При внешнем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40б).
При смешанном сопряжении центр О 1 одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр О другой сопрягаемой дуги вне её (рисунок 40в).
а) б) в)
Рисунок 40 – Построение сопряжений
Построение внутреннего сопряжения.
а) радиусы сопрягаемых окружностей R 1 и R 2 ;
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
в) провести дугу сопряжения.
Построение сопряжения показано на рисунке 40а. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 2 , а из центра О – радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 1 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Для нахождения точек сопряжения точку О 2 соединяют с точками О и О 1 прямыми линиями. Точки пересечения продолжения прямых О 2 О и О 2 О 1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки S и S 1).
Радиусом R из центра О 2 проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения S и S 1 .
Построение внешнего сопряжения.
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения S и S 1 ;
в) провести дугу сопряжения.
Построение внешнего сопряжения показано на рисунке 40б. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой R 2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО 2 и О 1 О 2 . Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения S и S1.
Из центра О 2 радиусом R проводят сопрягающую дугу, ограничивая её точками сопряжения S и S 1 .
Построение смешанного сопряжения.
а) радиусы R 1 и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения S и S 1 ;
в) провести дугу сопряжения.
Пример смешанного сопряжения приведен на рисунке 41 а,б .
а) б)
Рисунок 41 – Построение сопряжений
По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным разности радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Соединив точки О и О 2 прямой получают точку сопряжения S 1 , соединив точки О 1 и О 2 находят точку сопряжения S. Из центра О 2 проводят дугу сопряжения от S до S 1 .
Таблица 6 – Варианты графической работы на построение сопряжений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8Продолжение таблицы 6
|
|
|
|
|
|
|
|
9
10
11
12
13
